17  Chapter 17: 貝氏統計 (Bayesian Statistics)

學習目標

• 理解貝氏定理的連續版本與積分的關係
• 掌握 Prior × Likelihood ∝ Posterior 的數學原理
• 了解共軛先驗 (conjugate prior) 的微積分基礎
• 視覺化 Prior 到 Posterior 的更新過程
• 連結貝氏統計與微積分概念

17.1 概念說明

17.1.1 什麼是貝氏統計？

在傳統的頻率統計 (frequentist statistics) 中，我們把參數視為固定但未知的常數。例如：「某藥物的真實療效是 θ，我們用樣本資料估計它」。

但貝氏統計 (Bayesian statistics) 有不同的觀點：參數不是常數，而是有不確定性的隨機變數。我們用機率分布來描述這種不確定性^1,2。

17.1.2 醫學情境的例子

假設你是急診醫師，看到一位胸痛病人：

• Prior（先驗）：根據年齡、性別、病史，你心中已有初步判斷：「這個人心肌梗塞的機率大概 20%」
• Likelihood（似然）：做了心電圖，發現 ST 段上升（強烈證據！）
• Posterior（後驗）：結合先驗判斷與新證據，更新為：「現在心肌梗塞的機率上升到 85%」

這就是貝氏推論的核心：用新資料更新你的信念。

17.1.3 為什麼需要微積分？

當參數是連續的（例如血壓、存活時間、療效），我們需要用機率密度函數 (PDF) 來描述不確定性。這就需要積分來計算機率。

貝氏定理的連續版本：

\[p(\theta \mid \text{data}) = \frac{p(\text{data} \mid \theta) \cdot p(\theta)}{p(\text{data})}\]

其中分母是積分：

\[p(\text{data}) = \int p(\text{data} \mid \theta) \cdot p(\theta) \, d\theta\]

這個積分通常很難算，是貝氏統計的主要挑戰之一！

17.2 視覺化理解

17.2.1 貝氏定理的連續版本

離散版本（你可能學過的）：

\[P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

連續版本（參數 θ 是連續的）：

\[p(\theta \mid x) = \frac{p(x \mid \theta) \cdot p(\theta)}{p(x)}\]

用統計學的術語改寫：

\[\underbrace{p(\theta \mid x)}_{\text{Posterior}} = \frac{\overbrace{p(x \mid \theta)}^{\text{Likelihood}} \times \overbrace{p(\theta)}^{\text{Prior}}}{\underbrace{\int p(x \mid \theta) \cdot p(\theta) \, d\theta}_{\text{Normalizing constant}}}\]

簡化寫法（忽略分母，因為它只是正規化常數）：

\[p(\theta \mid x) \propto p(x \mid \theta) \cdot p(\theta)\]

讀作：「Posterior 正比於 Likelihood 乘以 Prior」

17.2.2 Prior, Likelihood, Posterior 的視覺化

# 假設我們要估計成功率 p（例如：新藥的療效率）
# Prior: Beta(2, 5) - 先驗認為療效不高
# Data: 觀察 10 次，成功 7 次
# Posterior: Beta(2+7, 5+3) = Beta(9, 8)

theta <- seq(0, 1, by = 0.001)

# Prior: Beta(2, 5)
prior <- dbeta(theta, 2, 5)

# Likelihood: Binomial(7 successes out of 10)
# p(data | theta) ∝ theta^7 * (1-theta)^3
likelihood <- theta^7 * (1 - theta)^3
likelihood <- likelihood / max(likelihood)  # 正規化以便視覺化

# Posterior: Beta(9, 8)
posterior <- dbeta(theta, 9, 8)

df <- data.frame(theta, prior, likelihood, posterior)

# Prior
p1 <- ggplot(df, aes(theta, prior)) +
  geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) +
  geom_area(fill = "#2E86AB", alpha = 0.3) +
  labs(
    title = "Prior: p(θ)",
    subtitle = "先驗信念：療效可能不高",
    x = "療效率 θ",
    y = "機率密度"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12)

# Likelihood
p2 <- ggplot(df, aes(theta, likelihood)) +
  geom_line(color = "#E94F37", linewidth = 1.2) +
  geom_area(fill = "#E94F37", alpha = 0.3) +
  labs(
    title = "Likelihood: p(data | θ)",
    subtitle = "資料顯示：7/10 成功",
    x = "療效率 θ",
    y = "相對似然"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12)

# Posterior
p3 <- ggplot(df, aes(theta, posterior)) +
  geom_line(color = "#6A4C93", linewidth = 1.2) +
  geom_area(fill = "#6A4C93", alpha = 0.3) +
  geom_vline(xintercept = 0.5, linetype = "dashed", color = "gray50") +
  annotate("text", x = 0.5, y = max(posterior) * 0.9,
           label = "更新後的估計", hjust = -0.1) +
  labs(
    title = "Posterior: p(θ | data)",
    subtitle = "結合先驗與資料的結果",
    x = "療效率 θ",
    y = "機率密度"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12)

(p1 | p2) / p3 +
  plot_annotation(
    title = "貝氏更新：Prior × Likelihood → Posterior",
    subtitle = "資料讓我們從懷疑變成相信"
  )

Figure 17.1: 貝氏更新的基本概念

關鍵觀察：

1. Prior 集中在低值（我們原本不太相信療效高）
2. Likelihood 集中在高值（資料顯示 70% 成功率）
3. Posterior 是兩者的折衷（更新後的信念）

17.2.3 積分的角色：正規化常數

Posterior 的分母是積分：

\[p(x) = \int_{\Theta} p(x \mid \theta) \cdot p(\theta) \, d\theta\]

這個積分的作用是確保 posterior 是合法的機率密度函數（面積 = 1）。

theta <- seq(0, 1, by = 0.001)

# 未正規化的 posterior（只是 prior × likelihood）
unnormalized <- dbeta(theta, 2, 5) * theta^7 * (1 - theta)^3

# 計算積分（用數值方法）
normalizing_constant <- sum(unnormalized) * 0.001  # Riemann sum

# 正規化後的 posterior
normalized <- unnormalized / normalizing_constant

df <- data.frame(
  theta = rep(theta, 2),
  density = c(unnormalized, normalized),
  type = rep(c("未正規化", "正規化後"), each = length(theta))
)

ggplot(df, aes(theta, density, color = type, linetype = type)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c("#E94F37", "#2E86AB")) +
  annotate("text", x = 0.3, y = max(unnormalized) * 0.5,
           label = paste0("積分 = ", round(normalizing_constant, 2)),
           size = 4, color = "#E94F37") +
  annotate("text", x = 0.7, y = max(normalized) * 0.5,
           label = "積分 = 1",
           size = 4, color = "#2E86AB") +
  labs(
    title = "正規化常數的作用",
    subtitle = "除以積分，確保面積 = 1",
    x = "θ",
    y = "密度",
    color = "",
    linetype = ""
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(legend.position = "bottom")

Figure 17.2: 正規化常數的作用

17.3 數學定義

17.3.1 貝氏定理（連續版本）

定理：給定觀察資料 \(x\) 和參數 \(\theta\)，參數的後驗分布為：

\[p(\theta \mid x) = \frac{p(x \mid \theta) \cdot p(\theta)}{\int_{\Theta} p(x \mid \theta) \cdot p(\theta) \, d\theta}\]

符號說明：

• \(p(\theta)\)：Prior distribution（先驗分布）
• \(p(x \mid \theta)\)：Likelihood（似然函數）
• \(p(\theta \mid x)\)：Posterior distribution（後驗分布）
• \(p(x) = \int p(x \mid \theta) \cdot p(\theta) \, d\theta\)：Marginal likelihood（邊際似然）

比例形式：

\[p(\theta \mid x) \propto p(x \mid \theta) \cdot p(\theta)\]

這個形式告訴我們：只要知道 likelihood 和 prior 的函數形式，就能推導出 posterior 的形式（差一個正規化常數）。

17.3.2 共軛先驗 (Conjugate Prior)

定義：如果 prior 和 posterior 屬於同一個分布族，則稱該 prior 為該 likelihood 的共軛先驗。

為什麼重要？

• 數學上優美：prior 和 posterior 有相同形式
• 計算上簡單：積分可以直接算出來（不需數值方法）
• 直觀上清晰：更新規則很直接

17.3.3 Beta-Binomial 共軛族

這是最經典的共軛先驗例子。

設定：

• 參數：成功率 \(\theta \in [0, 1]\)
• Prior：\(\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)\)
• Data：\(n\) 次試驗中觀察到 \(k\) 次成功，\(\text{Binomial}(n, \theta)\)

Prior 的 PDF：

\[p(\theta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}\]

Likelihood：

\[p(k \mid \theta, n) = \binom{n}{k} \theta^k (1-\theta)^{n-k}\]

Posterior 推導（這裡是微積分的精華！）：

\[\begin{align} p(\theta \mid k, n) &\propto p(k \mid \theta, n) \cdot p(\theta) \\ &\propto \theta^k (1-\theta)^{n-k} \cdot \theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1} \\ &= \theta^{k+\alpha-1} (1-\theta)^{n-k+\beta-1} \end{align}\]

這正好是 \(\text{Beta}(k+\alpha, n-k+\beta)\) 的 kernel（核心）！

結論：

\[\text{Prior: Beta}(\alpha, \beta) + \text{Data: } k \text{ successes in } n \text{ trials} \Rightarrow \text{Posterior: Beta}(\alpha+k, \beta+n-k)\]

更新規則的直觀：

• \(\alpha\)：可視為「事前的成功次數」
• \(\beta\)：可視為「事前的失敗次數」
• 新資料只是把成功和失敗累加上去！

theta <- seq(0, 1, by = 0.001)

# 展示更新過程
alpha_prior <- 2
beta_prior <- 2
k <- 8  # 成功次數
n <- 10  # 總試驗次數

prior <- dbeta(theta, alpha_prior, beta_prior)
posterior <- dbeta(theta, alpha_prior + k, beta_prior + (n - k))

df <- data.frame(theta, prior, posterior)

ggplot(df) +
  geom_line(aes(theta, prior, color = "Prior: Beta(2, 2)"),
            linewidth = 1.2) +
  geom_line(aes(theta, posterior, color = "Posterior: Beta(10, 4)"),
            linewidth = 1.2) +
  geom_area(aes(theta, posterior), fill = "#6A4C93", alpha = 0.2) +
  scale_color_manual(
    values = c("Prior: Beta(2, 2)" = "#2E86AB",
               "Posterior: Beta(10, 4)" = "#6A4C93")
  ) +
  annotate("text", x = 0.2, y = 1.5,
           label = "事前：不確定\n（平坦分布）",
           color = "#2E86AB", size = 4) +
  annotate("text", x = 0.8, y = 3,
           label = "事後：更確定\n（尖峰分布）",
           color = "#6A4C93", size = 4) +
  labs(
    title = "Beta-Binomial 共軛更新",
    subtitle = "觀察 8/10 成功後，從 Beta(2,2) 更新到 Beta(10,4)",
    x = "成功率 θ",
    y = "機率密度",
    color = ""
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(legend.position = "bottom")

Figure 17.3: Beta-Binomial 共軛更新的數學原理

17.4 Prior → Posterior 更新過程的動態視覺化

讓我們用動態方式展示：隨著觀察更多資料，posterior 如何逐步更新。

library(dplyr)

theta <- seq(0, 1, by = 0.001)

# 初始 prior
alpha <- 2
beta <- 2

# 模擬逐次觀察資料（1 代表成功，0 代表失敗）
set.seed(42)
observations <- rbinom(20, 1, 0.7)  # 真實成功率是 0.7

# 計算每次觀察後的 posterior
update_history <- list()
for (i in 0:20) {
  if (i == 0) {
    current_alpha <- alpha
    current_beta <- beta
    label <- "Prior"
  } else {
    current_alpha <- alpha + sum(observations[1:i])
    current_beta <- beta + i - sum(observations[1:i])
    label <- paste0("觀察 ", i, " 次資料")
  }

  update_history[[i+1]] <- data.frame(
    theta = theta,
    density = dbeta(theta, current_alpha, current_beta),
    stage = label,
    n_obs = i
  )
}

df_updates <- bind_rows(update_history)

# 選擇幾個關鍵時間點展示
key_stages <- c(0, 5, 10, 20)
df_key <- df_updates %>% filter(n_obs %in% key_stages)
df_key$stage <- factor(
  df_key$stage,
  levels = c("Prior", "觀察 5 次資料", "觀察 10 次資料", "觀察 20 次資料")
)

ggplot(df_key, aes(theta, density, color = stage)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(
    values = c("#2E86AB", "#E94F37", "#6A4C93", "#1B998B")
  ) +
  geom_vline(xintercept = 0.7, linetype = "dashed",
             color = "gray50", linewidth = 0.8) +
  annotate("text", x = 0.72, y = 7,
           label = "真實值 = 0.7", hjust = 0, size = 3.5) +
  labs(
    title = "貝氏學習：從不確定到確定",
    subtitle = "隨著資料增加，posterior 越來越集中在真實值",
    x = "成功率 θ",
    y = "機率密度",
    color = "更新階段"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(legend.position = "bottom")

Figure 17.4: 逐筆資料更新的過程

關鍵洞察：

1. Prior（藍色）：很平坦，不確定性高
2. 5 次觀察（紅色）：開始有點形狀，但還不確定
3. 10 次觀察（紫色）：越來越集中
4. 20 次觀察（綠色）：非常確定，幾乎集中在真實值 0.7

這展示了貝氏統計的核心：資料越多，我們越確定。

17.5 其他常見的共軛先驗

17.5.1 Normal-Normal 共軛族

設定：估計常態分布的平均數 \(\mu\)（已知變異數 \(\sigma^2\)）

• Prior：\(\mu \sim N(\mu_0, \tau_0^2)\)
• Data：\(x_1, \ldots, x_n \sim N(\mu, \sigma^2)\)
• Posterior：\(\mu \mid x \sim N(\mu_n, \tau_n^2)\)

更新公式（精確度的加權平均）：

\[\mu_n = \frac{\frac{1}{\tau_0^2}\mu_0 + \frac{n}{\sigma^2}\bar{x}}{\frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}}, \quad \frac{1}{\tau_n^2} = \frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}\]

直觀：

• Posterior 的平均是 prior 平均與資料平均的精確度加權平均
• Posterior 的精確度（\(1/\tau_n^2\)）是兩者精確度的相加
• 資料越多（\(n\) 越大），資料的權重越大

# 參數設定
mu_0 <- 100    # Prior mean
tau_0 <- 10    # Prior SD
sigma <- 5     # Data SD (已知)
n <- 20        # 樣本數
xbar <- 105    # 觀察到的樣本平均

# Posterior 參數
tau_n_sq <- 1 / (1/tau_0^2 + n/sigma^2)
mu_n <- tau_n_sq * (mu_0/tau_0^2 + n*xbar/sigma^2)
tau_n <- sqrt(tau_n_sq)

# 繪圖
x <- seq(80, 120, by = 0.1)
prior <- dnorm(x, mu_0, tau_0)
likelihood <- dnorm(x, xbar, sigma/sqrt(n))  # Sampling distribution of mean
posterior <- dnorm(x, mu_n, tau_n)

df <- data.frame(
  x = rep(x, 3),
  density = c(prior, likelihood, posterior),
  type = rep(c("Prior", "Likelihood", "Posterior"), each = length(x))
)

df$type <- factor(df$type, levels = c("Prior", "Likelihood", "Posterior"))

ggplot(df, aes(x, density, color = type, linetype = type)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c("#2E86AB", "#E94F37", "#6A4C93")) +
  geom_vline(xintercept = c(mu_0, xbar, mu_n),
             linetype = "dashed", color = c("#2E86AB", "#E94F37", "#6A4C93"),
             alpha = 0.5) +
  labs(
    title = "常態分布的貝氏更新",
    subtitle = "Posterior 是 Prior 與 Likelihood 的折衷",
    x = "μ (平均血壓)",
    y = "機率密度",
    color = "",
    linetype = ""
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(legend.position = "bottom")

Figure 17.5: Normal-Normal 共軛更新

17.5.2 Gamma-Poisson 共軛族

設定：估計 Poisson 分布的參數 \(\lambda\)（例如：每小時到急診的病人數）

• Prior：\(\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)\)
• Data：\(x_1, \ldots, x_n \sim \text{Poisson}(\lambda)\)
• Posterior：\(\lambda \mid x \sim \text{Gamma}(\alpha + \sum x_i, \beta + n)\)

更新規則：

• Shape 參數：加上觀察到的總事件數
• Rate 參數：加上觀察次數

17.6 練習題

17.6.1 觀念題

1. Prior 的選擇：
   • 如果我們對參數完全沒有先驗知識，應該用什麼 prior？
   • 「無資訊先驗」(non-informative prior) 真的不包含任何資訊嗎？

Tip參考答案

常用 uniform distribution 作為無資訊先驗（如 Beta(1,1)）。但「無資訊」其實是相對的概念，uniform prior 隱含「所有值等可能」的假設，這本身也是一種資訊。真正完全無資訊的 prior 在數學上不存在。

2. 共軛先驗的優缺點：
   • 為什麼共軛先驗在數學上方便？
   • 如果真實的先驗信念不是共軛分布，我們該怎麼辦？

Tip參考答案

共軛先驗讓 posterior 與 prior 屬於同一分布族，更新規則變成簡單的參數運算，積分可以直接計算。若真實先驗不是共軛分布，可使用數值方法（如 MCMC）計算 posterior，或選擇接近的共軛分布作為近似。

3. 貝氏 vs 頻率學派：
   • 頻率學派的信賴區間：「如果重複實驗，95% 的區間會包含真實值」
   • 貝氏的可信區間：「參數有 95% 的機率落在這個區間」
   • 哪一個比較符合臨床醫師的思維？

Tip參考答案

貝氏可信區間更符合臨床思維。醫師面對單一病人時，關心的是「這個病人的參數落在某範圍的機率」，而非「重複實驗的長期表現」。貝氏方法提供對單一案例的機率陳述，更直觀且實用。

4. 積分的角色：為什麼計算 marginal likelihood \(p(x) = \int p(x \mid \theta)p(\theta)d\theta\) 通常很困難？

Tip參考答案

這個積分需要對所有可能的 θ 值積分，當參數空間複雜或高維度時，解析解通常不存在。除了共軛先驗的特殊情況外，大多需要使用數值積分或 MCMC 等取樣方法來近似，這也是為什麼共軛先驗如此重要。

5. 樣本數的影響：當樣本數 \(n \to \infty\) 時，posterior 會怎樣？prior 還重要嗎？

Tip參考答案

當樣本數趨近無窮大時，likelihood 主導 posterior，prior 的影響會逐漸消失。Posterior 會收斂到真實參數值附近的窄分布。這顯示貝氏方法在大樣本下與頻率學派趨於一致，prior 只在小樣本時影響較大。

17.6.2 計算題

6. Beta-Binomial 更新：
   • Prior：\(\text{Beta}(3, 7)\)（先驗認為成功率不高）
   • Data：20 次試驗中成功 15 次
   • 求 posterior 的參數、期望值、眾數

Tip參考答案

Posterior 參數：Beta(3+15, 7+5) = Beta(18, 12)。期望值 = 18/(18+12) = 0.6。眾數 = (18-1)/(18+12-2) = 17/28 ≈ 0.607。資料顯示成功率較高（15/20 = 0.75），明顯改變了原本偏低的先驗信念。

7. Normal-Normal 更新：
   • Prior：\(\mu \sim N(170, 10^2)\)（先驗認為平均身高 170 cm）
   • Data：測量 25 人，樣本平均 175 cm，已知 \(\sigma = 8\) cm
   • 求 posterior 的參數
   • 計算 95% 可信區間

Tip參考答案

精確度：1/τ²ₙ = 1/10² + 25/8² = 0.01 + 0.391 = 0.401，故 τₙ ≈ 1.58。平均數：μₙ = (170/100 + 25×175/64) / 0.401 ≈ 174.4。Posterior: N(174.4, 1.58²)。95% 可信區間：174.4 ± 1.96×1.58 = [171.3, 177.5]。

8. 從頭推導 posterior：
   • Prior：\(\theta \sim \text{Uniform}(0, 1)\)（等於 \(\text{Beta}(1, 1)\)）
   • Likelihood：二項式，\(n=10\), \(k=7\)
   • 寫出 posterior 的完整 PDF（包括正規化常數）

Tip參考答案

Posterior ∝ θ⁷(1-θ)³ × 1 = θ⁷(1-θ)³，這是 Beta(8, 4) 的 kernel。完整 PDF：p(θ|data) = [Γ(12)/(Γ(8)Γ(4))]θ⁷(1-θ)³ = 990θ⁷(1-θ)³，其中正規化常數 990 = 11!/(7!×3!)，確保積分等於 1。

17.6.3 R 操作題

9. 視覺化 prior 的影響：

# 固定資料：10 次試驗中 7 次成功
# 嘗試不同的 prior
library(ggplot2)

theta <- seq(0, 1, by = 0.001)
k <- 7
n <- 10

# TODO: 畫出三種 prior 與對應的 posterior
# Prior 1: Beta(1, 1) - uniform (無資訊)
# Prior 2: Beta(10, 10) - 強烈相信 theta = 0.5
# Prior 3: Beta(1, 10) - 強烈相信 theta 很小

# 觀察：當 prior 很強時，少量資料能否改變我們的信念？

Tip參考答案

使用 patchwork 繪製三組 prior-posterior 對比圖。關鍵發現：無資訊 prior (Beta(1,1)) 讓資料主導結果；強 prior (Beta(10,10)) 需要更多資料才能改變信念；與資料衝突的 prior (Beta(1,10)) 仍會被資料逐漸修正，但更新較慢。

10. 模擬貝氏學習過程：

# 模擬逐次更新
set.seed(123)
true_theta <- 0.6
observations <- rbinom(50, 1, true_theta)

# TODO: 從 Beta(1,1) 開始，每觀察一筆資料就更新
# TODO: 繪製 posterior mean 與 95% 可信區間隨時間變化
# TODO: 觀察何時 posterior 穩定下來

Tip參考答案

建立迴圈逐次更新 alpha 和 beta 參數，計算每次的 posterior mean (α/(α+β)) 和 95% 可信區間 (qbeta(c(0.025, 0.975), α, β))。繪製折線圖顯示估計值收斂過程。約 20-30 次觀察後，posterior 趨於穩定，可信區間明顯縮小。

17.7 統計應用

17.7.1 臨床試驗中的貝氏方法

傳統臨床試驗（頻率學派）：

• 固定樣本數（例如：需要 500 人）
• 試驗結束才分析
• p-value < 0.05 就宣稱有效

貝氏臨床試驗：

• 可以適應性設計 (adaptive design)
• 逐次分析：每收集一批病人就更新 posterior
• 提早停止：如果 \(P(\theta > 0.5 \mid \text{data}) > 0.95\)，就停止試驗
• 納入先驗資訊：利用過去類似藥物的資料

17.7.2 Meta-analysis（統合分析）

假設有 5 個臨床試驗研究同一種藥：

• 頻率學派：用 random-effects model 估計平均效應
• 貝氏方法：每個試驗提供資料更新 posterior

貝氏 meta-analysis 的優點：

1. 自然地結合不同來源的證據
2. 可以處理小樣本試驗（頻率學派可能失效）
3. 直接給出「效應大於某值的機率」

17.7.3 診斷測試的解讀

回到急診醫師的例子：

• Prior：根據臨床評估，心肌梗塞機率 20%
• Likelihood：心電圖的靈敏度 80%、特異度 95%
• Posterior：更新後的機率？

這就是貝氏診斷推理！

數學（用離散版本）：

\[P(\text{MI} \mid \text{ECG+}) = \frac{P(\text{ECG+} \mid \text{MI}) \cdot P(\text{MI})}{P(\text{ECG+})}\]

\[= \frac{0.8 \times 0.2}{0.8 \times 0.2 + 0.05 \times 0.8} = \frac{0.16}{0.2} = 0.8\]

所以心電圖陽性後，機率從 20% 上升到 80%。

17.7.4 個人化醫療

貝氏方法特別適合個人化預測：

• Prior：根據病人的基因型、病史建立個人化 prior
• Data：該病人對治療的初步反應
• Posterior：更新後的預後預測

這比傳統方法（用所有病人的平均效應）更精準。

本章重點整理

1. 貝氏定理的連續版本： \[p(\theta \mid x) = \frac{p(x \mid \theta) \cdot p(\theta)}{\int p(x \mid \theta) \cdot p(\theta) \, d\theta}\] 分母是積分，確保 posterior 是合法的 PDF。

2. Prior × Likelihood ∝ Posterior：

   • Prior：先驗信念（主觀或基於過去資料）
   • Likelihood：當前資料的證據
   • Posterior：結合兩者的更新信念

3. 共軛先驗的數學優勢：

   • Prior 和 posterior 同屬一個分布族
   • 更新規則簡單（參數的代數運算）
   • 積分可以直接算出（不需數值方法）

4. Beta-Binomial 共軛族： \[\text{Beta}(\alpha, \beta) + k/n \Rightarrow \text{Beta}(\alpha+k, \beta+n-k)\] 直觀：把成功和失敗累加到 prior 的「虛擬觀察」上。

5. 貝氏學習的動態過程：

   • 今天的 posterior = 明天的 prior
   • 資料越多，posterior 越集中（不確定性降低）
   • 最終會收斂到真實值（頻率學派的性質）

6. 微積分的必要性：

   • 連續參數需要用 PDF 和積分
   • 正規化常數的計算是貝氏統計的主要挑戰
   • MCMC 等現代方法用數值方法近似積分

1.

Gelman A, Carlin JB, Stern HS, Dunson DB, Vehtari A, Rubin DB. Bayesian Data Analysis. 3rd ed. Chapman; Hall/CRC; 2013.

2.

McElreath R. Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in r and Stan. 2nd ed. CRC Press; 2020.