3 連續性 (Continuity)

學習目標

理解連續函數的直觀意義：「一筆畫完」
掌握連續性的三個數學條件
辨識不同類型的不連續點
理解為什麼機率密度函數必須連續
理解 Kaplan-Meier 曲線的階梯狀特性

3.1 概念說明

想像你在畫一條曲線，如果可以不抬起筆就畫完整條線，這條曲線就是「連續」的。相反地，如果中間有斷點、跳躍、或洞，你就必須抬筆，這就是「不連續」。

3.1.1 連續性的直觀理解

連續函數就像： - 體溫隨時間的變化（不會突然從 36°C 跳到 40°C） - 血壓的連續監測曲線 - 藥物濃度的衰退過程

不連續函數就像： - 階梯（從一階跳到下一階） - 開關的狀態（開/關之間沒有中間值） - 存活狀態（活著 → 死亡，沒有中間狀態）

3.1.2 醫學中的例子

連續：

血糖濃度隨時間變化
藥物血中濃度曲線
心跳間隔的變化

不連續：

疾病分期（Stage I, II, III, IV）
死亡事件（存活 vs 死亡）
用藥狀態（有用藥 vs 沒用藥）

3.2 視覺化理解

3.2.1 連續 vs 不連續

Code

# 1. 連續函數：平滑曲線
x1 <- seq(-3, 3, by = 0.01)
y1 <- x1^3 - 3*x1

p1 <- ggplot(data.frame(x = x1, y = y1), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) +
  labs(
    title = "連續函數",
    subtitle = expression(f(x) == x^3 - 3*x),
    x = "x", y = "f(x)"
  ) +
  annotate("text", x = 0, y = -5,
           label = "✓ 可以一筆畫完", size = 5, color = "#2E86AB") +
  theme_minimal(base_size = 13)

# 2. 跳躍不連續 (Jump Discontinuity)
x2 <- seq(-3, 3, by = 0.01)
y2 <- ifelse(x2 < 0, x2 + 1, x2 - 1)

df2_left <- data.frame(x = x2[x2 < 0], y = y2[x2 < 0])
df2_right <- data.frame(x = x2[x2 >= 0], y = y2[x2 >= 0])

p2 <- ggplot() +
  geom_line(data = df2_left, aes(x, y),
            color = "#E94F37", linewidth = 1.5) +
  geom_line(data = df2_right, aes(x, y),
            color = "#E94F37", linewidth = 1.5) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "#E94F37", size = 4) +
  geom_point(aes(x = 0, y = -1), shape = 21, size = 4,
             fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) +
  labs(
    title = "跳躍不連續",
    subtitle = "在 x = 0 處有跳躍",
    x = "x", y = "f(x)"
  ) +
  annotate("segment", x = -0.5, y = 0.5, xend = -0.5, yend = -0.5,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), ends = "both"),
           color = "gray30") +
  annotate("text", x = -1, y = 0,
           label = "跳躍", size = 4, color = "gray30") +
  theme_minimal(base_size = 13)

# 3. 空洞不連續 (Removable Discontinuity)
x3 <- seq(-3, 3, by = 0.01)
x3 <- x3[x3 != 1]
y3 <- (x3^2 - 1) / (x3 - 1)  # = x + 1 when x ≠ 1

p3 <- ggplot(data.frame(x = x3, y = y3), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) +
  # 空洞
  geom_point(aes(x = 1, y = 2), shape = 21, size = 5,
             fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) +
  # 錯誤的函數值
  geom_point(aes(x = 1, y = 3), color = "#E94F37", size = 4) +
  labs(
    title = "空洞不連續",
    subtitle = "在 x = 1 處有空洞",
    x = "x", y = "f(x)"
  ) +
  annotate("text", x = 1.5, y = 2.5,
           label = "定義在錯誤位置", size = 4, color = "#E94F37") +
  theme_minimal(base_size = 13)

# 4. 無窮不連續 (Infinite Discontinuity)
x4 <- seq(-3, 3, by = 0.01)
x4 <- x4[abs(x4) > 0.05]
y4 <- 1 / x4

df4 <- data.frame(x = x4, y = y4)
df4 <- df4[abs(df4$y) < 10, ]  # 限制 y 範圍以便顯示

p4 <- ggplot(df4, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#E94F37", linewidth = 1.5) +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed",
             color = "gray50", alpha = 0.7) +
  labs(
    title = "無窮不連續",
    subtitle = expression(f(x) == 1/x ~ "在 x = 0 處"),
    x = "x", y = "f(x)"
  ) +
  annotate("text", x = 1, y = 8,
           label = "垂直漸近線", size = 4, color = "gray30") +
  coord_cartesian(ylim = c(-10, 10)) +
  theme_minimal(base_size = 13)

# 組合圖形
(p1 | p2) / (p3 | p4) +
  plot_annotation(
    title = "連續與不連續的四種情況",
    theme = theme(
      plot.title = element_text(size = 18, face = "bold")
    )
  )

3.2.2 連續性的三個條件

一個函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 處連續，必須同時滿足三個條件：

Code

# 建立三個違反不同條件的例子

# 條件 1：f(a) 必須有定義
x_c1 <- seq(-2, 2, by = 0.01)
x_c1_plot <- x_c1[x_c1 != 0]
y_c1 <- x_c1_plot^2

p_c1 <- ggplot(data.frame(x = x_c1_plot, y = y_c1), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 0), shape = 21, size = 5,
             fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) +
  labs(
    title = "條件 1 失敗",
    subtitle = "f(0) 未定義",
    x = "x", y = "f(x)"
  ) +
  annotate("text", x = 0.5, y = 0.5,
           label = "❌ f(a) 不存在", color = "#E94F37", size = 4) +
  theme_minimal(base_size = 12)

# 條件 2：極限必須存在
x_c2 <- seq(-2, 2, by = 0.01)
y_c2 <- ifelse(x_c2 < 0, -1, 1)

df_c2_left <- data.frame(x = x_c2[x_c2 < 0], y = y_c2[x_c2 < 0])
df_c2_right <- data.frame(x = x_c2[x_c2 >= 0], y = y_c2[x_c2 >= 0])

p_c2 <- ggplot() +
  geom_line(data = df_c2_left, aes(x, y),
            color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) +
  geom_line(data = df_c2_right, aes(x, y),
            color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "#2E86AB", size = 4) +
  labs(
    title = "條件 2 失敗",
    subtitle = "極限不存在（左右不等）",
    x = "x", y = "f(x)"
  ) +
  annotate("text", x = 0.5, y = 0,
           label = "❌ 左極限 ≠ 右極限", color = "#E94F37", size = 4) +
  theme_minimal(base_size = 12)

# 條件 3：極限值 = 函數值
x_c3 <- seq(-2, 2, by = 0.01)
y_c3 <- x_c3^2

p_c3 <- ggplot(data.frame(x = x_c3, y = y_c3), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 0), shape = 21, size = 5,
             fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) +
  geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "#E94F37", size = 4) +
  labs(
    title = "條件 3 失敗",
    subtitle = "f(0) = 1, 但極限 = 0",
    x = "x", y = "f(x)"
  ) +
  annotate("text", x = 0.5, y = 0.5,
           label = "❌ lim f(x) ≠ f(0)", color = "#E94F37", size = 4) +
  theme_minimal(base_size = 12)

p_c1 | p_c2 | p_c3

3.3 數學定義

3.3.1 連續性的正式定義

連續函數的定義

函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 處連續，當且僅當同時滿足：

$f(a)$ 有定義（函數在該點存在）
$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在（極限存在）
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$（極限值等於函數值）

簡單記法： \[\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\]

3.3.2 單側連續

右連續：$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
左連續：$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$

在某區間連續，必須在區間內每一點都連續。

3.3.3 連續函數的性質

如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x = a$ 處都連續，則：

$f(x) + g(x)$ 連續
$f(x) \cdot g(x)$ 連續
$\frac{f(x)}{g(x)}$ 連續（當 $g(a) \neq 0$）
$f(g(x))$ 連續（合成函數）

3.3.4 不連續的類型

可去除不連續 (Removable)：有空洞，但可以重新定義函數值來修復
跳躍不連續 (Jump)：左極限 ≠ 右極限
無窮不連續 (Infinite)：函數趨近於無窮大

3.4 練習題

3.4.1 觀念題

判斷題：所有的多項式函數（如 $x^2 + 3x - 5$）都是連續的。（O / X）

參考答案

答案：O（正確）。多項式函數在實數範圍內處處連續，因為它們只涉及加法、減法和乘法運算，這些運算都保持連續性。多項式沒有分母、根號或其他可能造成不連續的運算。

判斷題：如果 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，則 $f(x)$ 在 $x = a$ 處一定連續。（O / X）

參考答案

答案：X（錯誤）。連續需要滿足三個條件，極限存在只是其中之一。還需要：(1) $f(a)$ 有定義，以及 (2) 極限值等於函數值。例如「空洞不連續」中，極限存在但函數在該點未定義或定義在錯誤位置。

選擇題：下列哪個函數在 $x = 0$ 處不連續？
- A：$f(x) = x^2$
- B：$f(x) = |x|$
- C：$f(x) = \frac{1}{x}$
- D：$f(x) = \sin(x)$

參考答案

答案：C。$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 處未定義（分母為零），且當 $x \to 0$ 時函數趨近於無窮大，屬於「無窮不連續」。其他選項在 $x = 0$ 處都連續：$x^2$ 和 $\sin(x)$ 都是平滑函數，$|x|$ 雖然在 $x = 0$ 處不可微分，但仍然連續。

問答題：解釋為什麼「體溫」可以用連續函數表示，但「存活狀態」不行。

參考答案

體溫是連續變化的物理量，可以取任意實數值（如 36.5°C, 36.51°C, 36.512°C…），中間沒有跳躍。存活狀態則是二元變數（活著或死亡），從「活著」到「死亡」是瞬間發生的跳躍，沒有中間狀態，因此必須用不連續的階梯函數表示。這也是為什麼 Kaplan-Meier 存活曲線是階梯狀的。

3.4.2 計算題

判斷下列函數在 $x = 2$ 處是否連續：

\[f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x < 2 \\ 4 & \text{if } x = 2 \\ 2x & \text{if } x > 2 \end{cases}\]

（提示：檢查三個條件）

參考答案

連續。檢查三個條件： 1. $f(2) = 4$ ✓（有定義） 2. 左極限：$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$；右極限：$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 2x = 4$，所以極限存在且 $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ ✓ 3. $\lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2)$ ✓

三個條件都滿足，因此函數在 $x = 2$ 處連續。

找出 $k$ 的值，使得下列函數在 $x = 1$ 處連續：

\[g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{if } x \leq 1 \\ kx & \text{if } x > 1 \end{cases}\]

參考答案

答案：$k = 2$。為了連續，需要 $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1)$。 - 左極限：$\lim_{x \to 1^-} g(x) = 1^2 + 1 = 2$ - 函數值：$g(1) = 1^2 + 1 = 2$ - 右極限：$\lim_{x \to 1^+} g(x) = k \cdot 1 = k$

要連續，需要右極限等於左極限和函數值，因此 $k = 2$。

3.4.3 R 操作題

視覺化練習：修改下列程式碼，畫出一個在 $x = 0$ 處有跳躍不連續的函數。

x <- seq(-2, 2, by = 0.01)

# 在 x = 0 處跳躍
y <- ifelse(x < 0, ___, ___)

ggplot(data.frame(x, y), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#2E86AB") +
  labs(title = "跳躍不連續範例")

參考答案

填入任意不同的常數或函數即可，例如：y <- ifelse(x < 0, -1, 1)（階梯函數）或 y <- ifelse(x < 0, x - 1, x + 1)（分段線性）。執行後會看到在 $x = 0$ 處有明顯的跳躍，左極限 ≠ 右極限。這種跳躍不連續類似於存活狀態或 Kaplan-Meier 曲線的特性。

絕對值函數：用 R 畫出 $f(x) = |x|$，並驗證它在 $x = 0$ 處是否連續（提示：它是連續的，但不可微分）。

參考答案

程式碼：ggplot(data.frame(x = seq(-2, 2, 0.01)), aes(x, abs(x))) + geom_line()。觀察：圖形在 $x = 0$ 處呈 V 字型，沒有斷點或跳躍，可以一筆畫完，因此連續。左極限 = 右極限 = 0 = $f(0)$，三個條件都滿足。但注意在 $x = 0$ 處有尖角，表示不可微分（這是下一章的主題）。

3.5 統計應用

3.5.1 連續型隨機變數的機率密度函數

在統計學中，連續型隨機變數的機率密度函數 (PDF) 必須是連續函數¹。

Code

x <- seq(-4, 4, by = 0.01)
y_normal <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1)

ggplot(data.frame(x, y = y_normal), aes(x, y)) +
  geom_area(fill = "#2E86AB", alpha = 0.3) +
  geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) +
  # 標記任意一點的連續性
  geom_point(aes(x = 0, y = dnorm(0)), color = "#E94F37", size = 4) +
  geom_segment(aes(x = -0.5, xend = 0.5, y = dnorm(0), yend = dnorm(0)),
               linetype = "dashed", color = "#E94F37") +
  labs(
    title = "常態分布的機率密度函數",
    subtitle = "PDF 必須是連續函數（可以一筆畫完）",
    x = "x",
    y = "f(x)"
  ) +
  annotate("text", x = 1, y = dnorm(0) + 0.05,
           label = "在每一點都連續", color = "#E94F37", size = 5) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"))

為什麼 PDF 必須連續？

因為機率是透過積分（面積）計算的： \[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx\]

如果 PDF 不連續，積分的定義會出問題。更重要的是，累積分布函數 (CDF) 定義為： \[F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\]

如果 $f(x)$ 連續，則 $F(x)$ 也會連續且可微分。

3.5.2 離散型隨機變數：不連續也可以

相對地，離散型隨機變數的機率質量函數 (PMF) 是不連續的：

Code

x_discrete <- 0:10
y_binom <- dbinom(x_discrete, size = 10, prob = 0.5)

ggplot(data.frame(x = x_discrete, y = y_binom), aes(x, y)) +
  geom_col(fill = "#E94F37", alpha = 0.7, width = 0.6) +
  geom_point(color = "#E94F37", size = 3) +
  labs(
    title = "二項分布的機率質量函數",
    subtitle = "離散型隨機變數：只在整數點有值",
    x = "x (成功次數)",
    y = "P(X = x)"
  ) +
  scale_x_continuous(breaks = 0:10) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"))

3.5.3 Kaplan-Meier 存活曲線：有意義的不連續

在存活分析中，Kaplan-Meier 曲線是右連續的階梯函數²：

Code

# 模擬簡單的存活資料
set.seed(123)
event_times <- c(0, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50)
survival_prob <- c(1.0, 0.9, 0.75, 0.6, 0.5, 0.3, 0.15, 0.05)

df_km <- data.frame(time = event_times, surv = survival_prob)

ggplot(df_km, aes(x = time, y = surv)) +
  geom_step(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5, direction = "hv") +
  geom_point(color = "#E94F37", size = 3) +
  # 標記跳躍處
  annotate("segment", x = 10, xend = 10, y = 0.75, yend = 0.9,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), ends = "both"),
           color = "gray30", linetype = "dashed") +
  annotate("text", x = 12, y = 0.825,
           label = "死亡事件發生\n→ 存活率下降", size = 4, hjust = 0) +
  labs(
    title = "Kaplan-Meier 存活曲線",
    subtitle = "階梯函數：在每個死亡事件處跳躍（右連續）",
    x = "時間 (月)",
    y = "存活率 S(t)"
  ) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 1), labels = scales::percent) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"))

Kaplan-Meier 的右連續性

Kaplan-Meier 曲線在每個死亡事件時間點 $t$ 處：

左極限：$S(t^-) =$ 死亡前的存活率
函數值：$S(t) =$ 死亡後的存活率
右極限：$S(t^+) = S(t)$

因此它是右連續的：$\lim_{s \to t^+} S(s) = S(t)$，但不是左連續的。

3.5.4 累積分布函數 (CDF) 一定連續嗎？

連續型隨機變數：CDF 是連續函數
離散型隨機變數：CDF 是階梯函數（右連續）³

Code

# 連續型：常態分布的 CDF
x_cont <- seq(-4, 4, by = 0.01)
y_cdf_cont <- pnorm(x_cont)

p_cont <- ggplot(data.frame(x = x_cont, y = y_cdf_cont), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) +
  labs(
    title = "連續型 CDF",
    subtitle = "平滑連續（常態分布）",
    x = "x", y = "F(x)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13)

# 離散型：二項分布的 CDF
x_disc <- seq(0, 10, by = 0.01)
y_cdf_disc <- pbinom(floor(x_disc), size = 10, prob = 0.5)

p_disc <- ggplot(data.frame(x = x_disc, y = y_cdf_disc), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#E94F37", linewidth = 1.5) +
  geom_point(data = data.frame(x = 0:10, y = pbinom(0:10, 10, 0.5)),
             color = "#E94F37", size = 3) +
  labs(
    title = "離散型 CDF",
    subtitle = "階梯函數（二項分布）",
    x = "x", y = "F(x)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13)

p_cont | p_disc

本章重點整理

核心概念

連續 = 一筆畫完：函數圖形沒有斷點、跳躍、或洞
連續的三個條件：
- $f(a)$ 有定義
- $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在
- $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
不連續的類型：
- 可去除（空洞）
- 跳躍（左右極限不等）
- 無窮（趨近無窮大）
統計應用：
- 連續型隨機變數：PDF 必須連續
- 離散型隨機變數：PMF 不連續也可以
- 存活分析：Kaplan-Meier 是右連續階梯函數
- CDF：連續型的 CDF 連續，離散型的 CDF 是階梯函數
右連續 vs 左連續：
- 右連續：$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
- Kaplan-Meier 曲線是右連續的

下一章預告

理解了極限與連續性後，我們即將進入微積分的核心：微分。我們將學習如何計算瞬時變化率，這是理解統計學中 hazard rate、score function、gradient descent 的基礎。

Mood AM, Graybill FA, Boes DC. Introduction to the Theory of Statistics. 3rd ed. McGraw-Hill; 1974.

Kaplan EL, Meier P. Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of the American Statistical Association. 1958;53(282):457-481.

DeGroot MH, Schervish MJ. Probability and Statistics. 4th ed. Pearson; 2012.

--- title: "連續性 (Continuity)" --- ```{r} #| include: false source(here::here("R/_common.R")) library(dplyr) ``` ## 學習目標 {.unnumbered} - 理解連續函數的直觀意義：「一筆畫完」 - 掌握連續性的三個數學條件 - 辨識不同類型的不連續點 - 理解為什麼機率密度函數必須連續 - 理解 Kaplan-Meier 曲線的階梯狀特性 ## 概念說明想像你在畫一條曲線，如果可以**不抬起筆**就畫完整條線，這條曲線就是「連續」的。相反地，如果中間有斷點、跳躍、或洞，你就必須抬筆，這就是「不連續」。 ### 連續性的直觀理解 **連續函數**就像： - 體溫隨時間的變化（不會突然從 36°C 跳到 40°C） - 血壓的連續監測曲線 - 藥物濃度的衰退過程 **不連續函數**就像： - 階梯（從一階跳到下一階） - 開關的狀態（開/關之間沒有中間值） - 存活狀態（活著 → 死亡，沒有中間狀態） ### 醫學中的例子 **連續**： - 血糖濃度隨時間變化 - 藥物血中濃度曲線 - 心跳間隔的變化 **不連續**： - 疾病分期（Stage I, II, III, IV） - 死亡事件（存活 vs 死亡） - 用藥狀態（有用藥 vs 沒用藥） ## 視覺化理解 ### 連續 vs 不連續 ```{r} #| label: fig-continuous-vs-discontinuous #| fig-cap: "連續與不連續函數的對比" #| fig-width: 10 #| fig-height: 8 # 1. 連續函數：平滑曲線 x1 <- seq(-3, 3, by = 0.01) y1 <- x1^3 - 3*x1 p1 <- ggplot(data.frame(x = x1, y = y1), aes(x, y)) + geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) + labs( title = "連續函數", subtitle = expression(f(x) == x^3 - 3*x), x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("text", x = 0, y = -5, label = "✓ 可以一筆畫完", size = 5, color = "#2E86AB") + theme_minimal(base_size = 13) # 2. 跳躍不連續 (Jump Discontinuity) x2 <- seq(-3, 3, by = 0.01) y2 <- ifelse(x2 < 0, x2 + 1, x2 - 1) df2_left <- data.frame(x = x2[x2 < 0], y = y2[x2 < 0]) df2_right <- data.frame(x = x2[x2 >= 0], y = y2[x2 >= 0]) p2 <- ggplot() + geom_line(data = df2_left, aes(x, y), color = "#E94F37", linewidth = 1.5) + geom_line(data = df2_right, aes(x, y), color = "#E94F37", linewidth = 1.5) + geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "#E94F37", size = 4) + geom_point(aes(x = 0, y = -1), shape = 21, size = 4, fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) + labs( title = "跳躍不連續", subtitle = "在 x = 0 處有跳躍", x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("segment", x = -0.5, y = 0.5, xend = -0.5, yend = -0.5, arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), ends = "both"), color = "gray30") + annotate("text", x = -1, y = 0, label = "跳躍", size = 4, color = "gray30") + theme_minimal(base_size = 13) # 3. 空洞不連續 (Removable Discontinuity) x3 <- seq(-3, 3, by = 0.01) x3 <- x3[x3 != 1] y3 <- (x3^2 - 1) / (x3 - 1) # = x + 1 when x ≠ 1 p3 <- ggplot(data.frame(x = x3, y = y3), aes(x, y)) + geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) + # 空洞 geom_point(aes(x = 1, y = 2), shape = 21, size = 5, fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) + # 錯誤的函數值 geom_point(aes(x = 1, y = 3), color = "#E94F37", size = 4) + labs( title = "空洞不連續", subtitle = "在 x = 1 處有空洞", x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("text", x = 1.5, y = 2.5, label = "定義在錯誤位置", size = 4, color = "#E94F37") + theme_minimal(base_size = 13) # 4. 無窮不連續 (Infinite Discontinuity) x4 <- seq(-3, 3, by = 0.01) x4 <- x4[abs(x4) > 0.05] y4 <- 1 / x4 df4 <- data.frame(x = x4, y = y4) df4 <- df4[abs(df4$y) < 10, ] # 限制 y 範圍以便顯示 p4 <- ggplot(df4, aes(x, y)) + geom_line(color = "#E94F37", linewidth = 1.5) + geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed", color = "gray50", alpha = 0.7) + labs( title = "無窮不連續", subtitle = expression(f(x) == 1/x ~ "在 x = 0 處"), x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("text", x = 1, y = 8, label = "垂直漸近線", size = 4, color = "gray30") + coord_cartesian(ylim = c(-10, 10)) + theme_minimal(base_size = 13) # 組合圖形 (p1 | p2) / (p3 | p4) + plot_annotation( title = "連續與不連續的四種情況", theme = theme( plot.title = element_text(size = 18, face = "bold") ) ) ``` ### 連續性的三個條件一個函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 處連續，必須同時滿足三個條件： ```{r} #| label: fig-three-conditions #| fig-cap: "連續性的三個條件視覺化" #| fig-width: 10 #| fig-height: 4 # 建立三個違反不同條件的例子 # 條件 1：f(a) 必須有定義 x_c1 <- seq(-2, 2, by = 0.01) x_c1_plot <- x_c1[x_c1 != 0] y_c1 <- x_c1_plot^2 p_c1 <- ggplot(data.frame(x = x_c1_plot, y = y_c1), aes(x, y)) + geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) + geom_point(aes(x = 0, y = 0), shape = 21, size = 5, fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) + labs( title = "條件 1 失敗", subtitle = "f(0) 未定義", x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("text", x = 0.5, y = 0.5, label = "❌ f(a) 不存在", color = "#E94F37", size = 4) + theme_minimal(base_size = 12) # 條件 2：極限必須存在 x_c2 <- seq(-2, 2, by = 0.01) y_c2 <- ifelse(x_c2 < 0, -1, 1) df_c2_left <- data.frame(x = x_c2[x_c2 < 0], y = y_c2[x_c2 < 0]) df_c2_right <- data.frame(x = x_c2[x_c2 >= 0], y = y_c2[x_c2 >= 0]) p_c2 <- ggplot() + geom_line(data = df_c2_left, aes(x, y), color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) + geom_line(data = df_c2_right, aes(x, y), color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) + geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "#2E86AB", size = 4) + labs( title = "條件 2 失敗", subtitle = "極限不存在（左右不等）", x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("text", x = 0.5, y = 0, label = "❌ 左極限 ≠ 右極限", color = "#E94F37", size = 4) + theme_minimal(base_size = 12) # 條件 3：極限值 = 函數值 x_c3 <- seq(-2, 2, by = 0.01) y_c3 <- x_c3^2 p_c3 <- ggplot(data.frame(x = x_c3, y = y_c3), aes(x, y)) + geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) + geom_point(aes(x = 0, y = 0), shape = 21, size = 5, fill = "white", color = "#E94F37", stroke = 2) + geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "#E94F37", size = 4) + labs( title = "條件 3 失敗", subtitle = "f(0) = 1, 但極限 = 0", x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("text", x = 0.5, y = 0.5, label = "❌ lim f(x) ≠ f(0)", color = "#E94F37", size = 4) + theme_minimal(base_size = 12) p_c1 | p_c2 | p_c3 ``` ## 數學定義 ### 連續性的正式定義 ::: {.callout-note icon="false"} ## 連續函數的定義函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 處**連續**，當且僅當同時滿足： 1. **$f(a)$ 有定義**（函數在該點存在） 2. **$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在**（極限存在） 3. **$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$**（極限值等於函數值）簡單記法： $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ ::: ### 單側連續 - **右連續**：$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ - **左連續**：$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ 在某區間連續，必須在區間內每一點都連續。 ### 連續函數的性質如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x = a$ 處都連續，則： 1. $f(x) + g(x)$ 連續 2. $f(x) \cdot g(x)$ 連續 3. $\frac{f(x)}{g(x)}$ 連續（當 $g(a) \neq 0$） 4. $f(g(x))$ 連續（合成函數） ### 不連續的類型 1. **可去除不連續 (Removable)**：有空洞，但可以重新定義函數值來修復 2. **跳躍不連續 (Jump)**：左極限 ≠ 右極限 3. **無窮不連續 (Infinite)**：函數趨近於無窮大 ## 練習題 ### 觀念題 1. **判斷題**：所有的多項式函數（如 $x^2 + 3x - 5$）都是連續的。（O / X） ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} **答案：O（正確）**。多項式函數在實數範圍內處處連續，因為它們只涉及加法、減法和乘法運算，這些運算都保持連續性。多項式沒有分母、根號或其他可能造成不連續的運算。 ::: 2. **判斷題**：如果 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，則 $f(x)$ 在 $x = a$ 處一定連續。（O / X） ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} **答案：X（錯誤）**。連續需要滿足三個條件，極限存在只是其中之一。還需要：(1) $f(a)$ 有定義，以及 (2) 極限值等於函數值。例如「空洞不連續」中，極限存在但函數在該點未定義或定義在錯誤位置。 ::: 3. **選擇題**：下列哪個函數在 $x = 0$ 處不連續？ - A：$f(x) = x^2$ - B：$f(x) = |x|$ - C：$f(x) = \frac{1}{x}$ - D：$f(x) = \sin(x)$ ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} **答案：C**。$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 處未定義（分母為零），且當 $x \to 0$ 時函數趨近於無窮大，屬於「無窮不連續」。其他選項在 $x = 0$ 處都連續：$x^2$ 和 $\sin(x)$ 都是平滑函數，$|x|$ 雖然在 $x = 0$ 處不可微分，但仍然連續。 ::: 4. **問答題**：解釋為什麼「體溫」可以用連續函數表示，但「存活狀態」不行。 ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} 體溫是連續變化的物理量，可以取任意實數值（如 36.5°C, 36.51°C, 36.512°C...），中間沒有跳躍。存活狀態則是二元變數（活著或死亡），從「活著」到「死亡」是瞬間發生的跳躍，沒有中間狀態，因此必須用不連續的階梯函數表示。這也是為什麼 Kaplan-Meier 存活曲線是階梯狀的。 ::: ### 計算題 5. 判斷下列函數在 $x = 2$ 處是否連續： $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x < 2 \\ 4 & \text{if } x = 2 \\ 2x & \text{if } x > 2 \end{cases}$$ （提示：檢查三個條件） ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} **連續**。檢查三個條件： 1. $f(2) = 4$ ✓（有定義） 2. 左極限：$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$；右極限：$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 2x = 4$，所以極限存在且 $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ ✓ 3. $\lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2)$ ✓ 三個條件都滿足，因此函數在 $x = 2$ 處連續。 ::: 6. 找出 $k$ 的值，使得下列函數在 $x = 1$ 處連續： $$g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{if } x \leq 1 \\ kx & \text{if } x > 1 \end{cases}$$ ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} **答案：$k = 2$**。為了連續，需要 $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1)$。 - 左極限：$\lim_{x \to 1^-} g(x) = 1^2 + 1 = 2$ - 函數值：$g(1) = 1^2 + 1 = 2$ - 右極限：$\lim_{x \to 1^+} g(x) = k \cdot 1 = k$ 要連續，需要右極限等於左極限和函數值，因此 $k = 2$。 ::: ### R 操作題 7. **視覺化練習**：修改下列程式碼，畫出一個在 $x = 0$ 處有跳躍不連續的函數。 ```r x <- seq(-2, 2, by = 0.01) # 在 x = 0 處跳躍 y <- ifelse(x < 0, ___, ___) ggplot(data.frame(x, y), aes(x, y)) + geom_line(color = "#2E86AB") + labs(title = "跳躍不連續範例") ``` ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} 填入任意不同的常數或函數即可，例如：`y <- ifelse(x < 0, -1, 1)`（階梯函數）或 `y <- ifelse(x < 0, x - 1, x + 1)`（分段線性）。執行後會看到在 $x = 0$ 處有明顯的跳躍，左極限 ≠ 右極限。這種跳躍不連續類似於存活狀態或 Kaplan-Meier 曲線的特性。 ::: 8. **絕對值函數**：用 R 畫出 $f(x) = |x|$，並驗證它在 $x = 0$ 處是否連續（提示：它是連續的，但不可微分）。 ::: {.callout-tip collapse="true" title="參考答案"} 程式碼：`ggplot(data.frame(x = seq(-2, 2, 0.01)), aes(x, abs(x))) + geom_line()`。觀察：圖形在 $x = 0$ 處呈 V 字型，沒有斷點或跳躍，可以一筆畫完，因此**連續**。左極限 = 右極限 = 0 = $f(0)$，三個條件都滿足。但注意在 $x = 0$ 處有尖角，表示不可微分（這是下一章的主題）。 ::: ## 統計應用 ### 連續型隨機變數的機率密度函數在統計學中，**連續型隨機變數**的機率密度函數 (PDF) 必須是連續函數 [@mood1974introduction]。 ```{r} #| label: fig-continuous-pdf #| fig-cap: "常態分布的 PDF：連續且平滑" #| fig-width: 9 #| fig-height: 5 x <- seq(-4, 4, by = 0.01) y_normal <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1) ggplot(data.frame(x, y = y_normal), aes(x, y)) + geom_area(fill = "#2E86AB", alpha = 0.3) + geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) + # 標記任意一點的連續性 geom_point(aes(x = 0, y = dnorm(0)), color = "#E94F37", size = 4) + geom_segment(aes(x = -0.5, xend = 0.5, y = dnorm(0), yend = dnorm(0)), linetype = "dashed", color = "#E94F37") + labs( title = "常態分布的機率密度函數", subtitle = "PDF 必須是連續函數（可以一筆畫完）", x = "x", y = "f(x)" ) + annotate("text", x = 1, y = dnorm(0) + 0.05, label = "在每一點都連續", color = "#E94F37", size = 5) + theme_minimal(base_size = 14) + theme(plot.title = element_text(face = "bold")) ``` ::: {.callout-important} ## 為什麼 PDF 必須連續？因為機率是透過積分（面積）計算的： $$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$$ 如果 PDF 不連續，積分的定義會出問題。更重要的是，累積分布函數 (CDF) 定義為： $$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$$ 如果 $f(x)$ 連續，則 $F(x)$ 也會連續且可微分。 ::: ### 離散型隨機變數：不連續也可以相對地，**離散型隨機變數**的機率質量函數 (PMF) 是不連續的： ```{r} #| label: fig-discrete-pmf #| fig-cap: "二項分布的 PMF：不連續的階梯函數" #| fig-width: 9 #| fig-height: 5 x_discrete <- 0:10 y_binom <- dbinom(x_discrete, size = 10, prob = 0.5) ggplot(data.frame(x = x_discrete, y = y_binom), aes(x, y)) + geom_col(fill = "#E94F37", alpha = 0.7, width = 0.6) + geom_point(color = "#E94F37", size = 3) + labs( title = "二項分布的機率質量函數", subtitle = "離散型隨機變數：只在整數點有值", x = "x (成功次數)", y = "P(X = x)" ) + scale_x_continuous(breaks = 0:10) + theme_minimal(base_size = 14) + theme(plot.title = element_text(face = "bold")) ``` ### Kaplan-Meier 存活曲線：有意義的不連續在存活分析中，Kaplan-Meier 曲線是**右連續**的階梯函數 [@kaplan1958nonparametric]： ```{r} #| label: fig-kaplan-meier #| fig-cap: "Kaplan-Meier 存活曲線：階梯狀但右連續" #| fig-width: 9 #| fig-height: 5 # 模擬簡單的存活資料 set.seed(123) event_times <- c(0, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50) survival_prob <- c(1.0, 0.9, 0.75, 0.6, 0.5, 0.3, 0.15, 0.05) df_km <- data.frame(time = event_times, surv = survival_prob) ggplot(df_km, aes(x = time, y = surv)) + geom_step(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5, direction = "hv") + geom_point(color = "#E94F37", size = 3) + # 標記跳躍處 annotate("segment", x = 10, xend = 10, y = 0.75, yend = 0.9, arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), ends = "both"), color = "gray30", linetype = "dashed") + annotate("text", x = 12, y = 0.825, label = "死亡事件發生\n→ 存活率下降", size = 4, hjust = 0) + labs( title = "Kaplan-Meier 存活曲線", subtitle = "階梯函數：在每個死亡事件處跳躍（右連續）", x = "時間 (月)", y = "存活率 S(t)" ) + scale_y_continuous(limits = c(0, 1), labels = scales::percent) + theme_minimal(base_size = 14) + theme(plot.title = element_text(face = "bold")) ``` ::: {.callout-tip} ## Kaplan-Meier 的右連續性 Kaplan-Meier 曲線在每個死亡事件時間點 $t$ 處： - **左極限**：$S(t^-) =$ 死亡前的存活率 - **函數值**：$S(t) =$ 死亡後的存活率 - **右極限**：$S(t^+) = S(t)$ 因此它是**右連續**的：$\lim_{s \to t^+} S(s) = S(t)$，但不是左連續的。 ::: ### 累積分布函數 (CDF) 一定連續嗎？ - **連續型隨機變數**：CDF 是連續函數 - **離散型隨機變數**：CDF 是階梯函數（右連續）[@degroot2012probability] ```{r} #| label: fig-cdf-comparison #| fig-cap: "CDF 的連續性：連續型 vs 離散型" #| fig-width: 10 #| fig-height: 5 # 連續型：常態分布的 CDF x_cont <- seq(-4, 4, by = 0.01) y_cdf_cont <- pnorm(x_cont) p_cont <- ggplot(data.frame(x = x_cont, y = y_cdf_cont), aes(x, y)) + geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.5) + labs( title = "連續型 CDF", subtitle = "平滑連續（常態分布）", x = "x", y = "F(x)" ) + theme_minimal(base_size = 13) # 離散型：二項分布的 CDF x_disc <- seq(0, 10, by = 0.01) y_cdf_disc <- pbinom(floor(x_disc), size = 10, prob = 0.5) p_disc <- ggplot(data.frame(x = x_disc, y = y_cdf_disc), aes(x, y)) + geom_line(color = "#E94F37", linewidth = 1.5) + geom_point(data = data.frame(x = 0:10, y = pbinom(0:10, 10, 0.5)), color = "#E94F37", size = 3) + labs( title = "離散型 CDF", subtitle = "階梯函數（二項分布）", x = "x", y = "F(x)" ) + theme_minimal(base_size = 13) p_cont | p_disc ``` ## 本章重點整理 {.unnumbered} ::: {.callout-tip icon="false"} ## 核心概念 1. **連續 = 一筆畫完**：函數圖形沒有斷點、跳躍、或洞 2. **連續的三個條件**： - $f(a)$ 有定義 - $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在 - $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 3. **不連續的類型**： - 可去除（空洞） - 跳躍（左右極限不等） - 無窮（趨近無窮大） 4. **統計應用**： - **連續型隨機變數**：PDF 必須連續 - **離散型隨機變數**：PMF 不連續也可以 - **存活分析**：Kaplan-Meier 是右連續階梯函數 - **CDF**：連續型的 CDF 連續，離散型的 CDF 是階梯函數 5. **右連續 vs 左連續**： - 右連續：$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ - Kaplan-Meier 曲線是右連續的 ::: ::: {.callout-note} ## 下一章預告理解了極限與連續性後，我們即將進入微積分的核心：**微分**。我們將學習如何計算**瞬時變化率**，這是理解統計學中 hazard rate、score function、gradient descent 的基礎。 :::