20 附錄 C：練習題解答

關於解答

本附錄提供各章節練習題的詳細解答。建議先自行嘗試解題，再對照答案。

20.1 Part I：基礎概念

20.1.1 Chapter 1：函數與圖形

20.1.1.1 觀念題

1. 為什麼劑量反應曲線通常呈 S 型？

解答：劑量反應曲線（如 Emax model）呈現類似 S 型的原因是：

低劑量時：反應隨劑量快速上升
中等劑量時：反應接近線性增加
高劑量時：反應趨近飽和（最大效應 Emax）

這反映了生理系統的飽和特性：受體數量有限，當大部分受體被佔據後，增加劑量也無法顯著增加效應。

2. 函數的定義域在醫學研究中有何重要性？

解答：定義域（可能的 x 值範圍）在醫學研究中非常重要：

劑量必須 ≥ 0（不可能有負劑量）
年齡必須 > 0
存活時間必須 ≥ 0
機率必須在 [0, 1] 之間

選擇錯誤的定義域可能導致無意義或危險的預測。

20.1.1.2 計算題

1. 若藥物濃度隨時間呈指數衰減：$C(t) = 100e^{-0.5t}$，求 $t=2$ 小時時的濃度。

Code

C <- function(t) 100 * exp(-0.5 * t)
C(2)

[1] 36.78794

解答：約 36.8 mg/L

20.1.1.3 R 操作題

1. 修改劑量反應曲線的 EC50 值，觀察曲線變化。

Code

library(ggplot2)

dose <- seq(0, 100, by = 1)
emax <- 100

# 嘗試不同的 EC50 值
ec50_values <- c(10, 20, 40, 80)

plot_list <- lapply(ec50_values, function(ec50) {
  response <- (emax * dose) / (ec50 + dose)

  ggplot(data.frame(dose, response), aes(dose, response)) +
    geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) +
    labs(title = paste("EC50 =", ec50), y = "Response") +
    theme_minimal()
})

觀察：EC50 越大，曲線越右移；EC50 越小，曲線越左移。

20.1.2 Chapter 2：極限

20.1.2.1 觀念題

1. 極限與函數值有何不同？

解答：

極限：$x$ 趨近某值時，$f(x)$ 趨近的值
函數值：$f(x)$ 在某點的實際值

例如：$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ 在 $x=2$ 處未定義（函數值不存在），但 $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$（極限存在）。

2. 為什麼大數法則需要用到極限概念？

解答：大數法則說明當樣本數 $n \to \infty$ 時，樣本平均數 $\bar{X}_n$ 會趨近（收斂）到真實平均數 $\mu$：

\[\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu\]

這是「趨近」的概念，不是「等於」，因此需要極限來精確描述。

20.1.3 Chapter 3：連續性

20.1.3.1 觀念題

1. 為什麼機率密度函數（PDF）必須是連續函數？

解答：對於連續型隨機變數，PDF 必須連續以確保：

機率能夠用面積表示（積分存在）
累積分布函數（CDF）能夠良好定義
數學處理更方便（可微分）

但注意：存活分析中的 Kaplan-Meier 曲線是階梯函數（不連續），因為觀察到的死亡事件是離散的。

20.2 Part II：微分

20.2.1 Chapter 4：導數的概念

20.2.1.1 觀念題

1. Hazard rate 與導數有何關係？

解答：Hazard function 本質上是瞬時死亡率，定義為：

\[h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t < T \leq t + \Delta t | T > t)}{\Delta t}\]

這正是導數的定義！也可表示為：

\[h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = -\frac{d}{dt}\ln S(t)\]

20.2.1.2 計算題

1. 求 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $x=2$ 處的導數。

解答： \[f'(x) = 3x^2 - 3\] \[f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9\]

Code

f <- function(x) x^3 - 3*x
f_prime <- function(x) 3*x^2 - 3
f_prime(2)

[1] 9

20.2.2 Chapter 5：微分規則

20.2.2.1 計算題

1. 求 $f(x) = e^{x^2}$ 的導數（使用連鎖律）。

解答：

令 $u = x^2$，則 $f(x) = e^u$

外層導數：$\frac{d}{du}e^u = e^u$
內層導數：$\frac{du}{dx} = 2x$

根據連鎖律： \[f'(x) = e^{u} \cdot 2x = 2xe^{x^2}\]

2. 求 Logistic 函數 $p(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ 的導數。

解答：

使用除法規則或改寫為 $(1+e^{-x})^{-1}$ 使用連鎖律：

\[p'(x) = -1 \cdot (1+e^{-x})^{-2} \cdot (-e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\]

化簡： \[p'(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} \cdot \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = p(x) \cdot (1-p(x))\]

這個結果非常重要！Logistic 函數的導數就是 $p(1-p)$。

20.2.3 Chapter 6：指數與對數函數

20.2.3.1 觀念題

1. 為什麼統計學中常使用 log-likelihood 而不是 likelihood？

解答：三個主要原因：

數值穩定性：Likelihood 通常是很多小機率的乘積，容易數值下溢（underflow）。取 log 後變成加法，數值更穩定。
微分簡化：
- $L(\theta) = \prod f(x_i|\theta)$ 微分複雜（乘法規則）
- $\ell(\theta) = \sum \ln f(x_i|\theta)$ 微分簡單（和的導數）
最佳化等價：因為 $\ln$ 是遞增函數，最大化 $L(\theta)$ 等價於最大化 $\ell(\theta)$。

20.2.3.2 計算題

1. 若 $y = \ln(x^2 + 1)$，求 $\frac{dy}{dx}$。

解答：使用連鎖律：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}\]

20.2.4 Chapter 7：最佳化

20.2.4.1 計算題

1. 求 $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ 的最大值。

解答：

求導數：$f'(x) = -2x + 4$
令導數為零：$-2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$
二階導數：$f''(x) = -2 < 0$（凹向下，確認是最大值）
最大值：$f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$

Code

f <- function(x) -x^2 + 4*x - 1
optimize(f, interval = c(0, 10), maximum = TRUE)

$maximum
[1] 2

$objective
[1] 3

2. MLE 估計：給定樣本 3, 5, 7 來自常態分布 $N(\mu, 1)$，求 $\mu$ 的 MLE。

解答：

Log-likelihood： \[\ell(\mu) = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 (x_i - \mu)^2 + \text{常數}\]

求導： \[\frac{d\ell}{d\mu} = \sum_{i=1}^3 (x_i - \mu) = 0\]

解得： \[\hat{\mu} = \frac{1}{3}\sum x_i = \frac{3+5+7}{3} = 5\]

Code

data <- c(3, 5, 7)
mean(data)  # MLE = sample mean

[1] 5

20.3 Part III：積分

20.3.1 Chapter 8：積分的概念

20.3.1.1 觀念題

1. 為什麼標準常態分布在 $(-\infty, \infty)$ 的積分等於 1？

解答：這是機率的基本性質：所有可能結果的機率總和必須為 1。

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 1\]

這個積分沒有初等函數形式的解析解，但可以用極座標變換證明確實等於 1。

20.3.1.2 計算題

1. 求標準常態分布在 $[0, 1]$ 的機率。

解答：

\[P(0 \leq X \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\]

這個積分需要用數值方法或查表：

Code

pnorm(1) - pnorm(0)

[1] 0.3413447

答案：約 0.341

20.3.2 Chapter 10：瑕積分

20.3.2.1 計算題

1. 驗證指數分布 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ ($x \geq 0$) 的總機率為 1。

解答：

\[\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}dx = \lambda \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^{\infty}\] \[= \lambda \left(0 - (-\frac{1}{\lambda})\right) = 1 \quad \checkmark\]

20.4 Part IV：多變量微積分

20.4.1 Chapter 11：偏微分

20.4.1.1 計算題

1. 求 $f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2$ 的偏微分。

解答：

對 $x$ 的偏微分（視 $y$ 為常數）： \[\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y\]

對 $y$ 的偏微分（視 $x$ 為常數）： \[\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y\]

20.5 Part V：統計應用

20.5.1 Chapter 14：最大概似估計

20.5.1.1 綜合題

1. Poisson 分布的 MLE

給定觀測值 2, 3, 1, 4, 2，求 Poisson 參數 $\lambda$ 的 MLE。

解答：

Likelihood： \[L(\lambda) = \prod_{i=1}^5 \frac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{x_i!}\]

Log-likelihood： \[\ell(\lambda) = \sum x_i \ln \lambda - 5\lambda + \text{常數}\]

求導： \[\frac{d\ell}{d\lambda} = \frac{\sum x_i}{\lambda} - 5 = 0\]

解得： \[\hat{\lambda} = \frac{\sum x_i}{5} = \frac{2+3+1+4+2}{5} = 2.4\]

Code

data <- c(2, 3, 1, 4, 2)
lambda_mle <- mean(data)
lambda_mle

[1] 2.4

20.5.2 Chapter 16：存活分析

20.5.2.1 計算題

1. 指數存活模型的 hazard function

若 $T \sim \text{Exp}(\lambda)$，即 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$，求 hazard function。

解答：

Survival function： \[S(t) = \int_t^{\infty} \lambda e^{-\lambda u}du = e^{-\lambda t}\]

Hazard function： \[h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda\]

結論：指數分布的 hazard 是常數（無記憶性）！

學習建議

不要只看答案，要理解解題過程
用 R 驗證計算結果
遇到不懂的地方，回到對應章節複習概念
嘗試用不同方法解同一題

持續更新

本附錄會隨著書籍內容更新而持續補充更多練習題解答。

--- title: "附錄 C：練習題解答" --- ```{r} #| include: false source(here::here("R/_common.R")) ``` ::: {.callout-note} ## 關於解答本附錄提供各章節練習題的詳細解答。建議先自行嘗試解題，再對照答案。 ::: ## Part I：基礎概念 ### Chapter 1：函數與圖形 #### 觀念題 **1. 為什麼劑量反應曲線通常呈 S 型？** 解答：劑量反應曲線（如 Emax model）呈現類似 S 型的原因是： - 低劑量時：反應隨劑量快速上升 - 中等劑量時：反應接近線性增加 - 高劑量時：反應趨近飽和（最大效應 Emax）這反映了生理系統的飽和特性：受體數量有限，當大部分受體被佔據後，增加劑量也無法顯著增加效應。 **2. 函數的定義域在醫學研究中有何重要性？** 解答：定義域（可能的 x 值範圍）在醫學研究中非常重要： - 劑量必須 ≥ 0（不可能有負劑量） - 年齡必須 > 0 - 存活時間必須 ≥ 0 - 機率必須在 [0, 1] 之間選擇錯誤的定義域可能導致無意義或危險的預測。 #### 計算題 **1. 若藥物濃度隨時間呈指數衰減：$C(t) = 100e^{-0.5t}$，求 $t=2$ 小時時的濃度。** ```{r} C <- function(t) 100 * exp(-0.5 * t) C(2) ``` 解答：約 36.8 mg/L #### R 操作題 **1. 修改劑量反應曲線的 EC50 值，觀察曲線變化。** ```{r} #| eval: false library(ggplot2) dose <- seq(0, 100, by = 1) emax <- 100 # 嘗試不同的 EC50 值 ec50_values <- c(10, 20, 40, 80) plot_list <- lapply(ec50_values, function(ec50) { response <- (emax * dose) / (ec50 + dose) ggplot(data.frame(dose, response), aes(dose, response)) + geom_line(color = "#2E86AB", linewidth = 1.2) + labs(title = paste("EC50 =", ec50), y = "Response") + theme_minimal() }) ``` 觀察：EC50 越大，曲線越右移；EC50 越小，曲線越左移。 --- ### Chapter 2：極限 #### 觀念題 **1. 極限與函數值有何不同？** 解答： - **極限**：$x$ 趨近某值時，$f(x)$ 趨近的值 - **函數值**：$f(x)$ 在某點的實際值例如：$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ 在 $x=2$ 處未定義（函數值不存在），但 $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$（極限存在）。 **2. 為什麼大數法則需要用到極限概念？** 解答：大數法則說明當樣本數 $n \to \infty$ 時，樣本平均數 $\bar{X}_n$ 會趨近（收斂）到真實平均數 $\mu$： $$\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu$$ 這是「趨近」的概念，不是「等於」，因此需要極限來精確描述。 --- ### Chapter 3：連續性 #### 觀念題 **1. 為什麼機率密度函數（PDF）必須是連續函數？** 解答：對於連續型隨機變數，PDF 必須連續以確保： - 機率能夠用面積表示（積分存在） - 累積分布函數（CDF）能夠良好定義 - 數學處理更方便（可微分）但注意：存活分析中的 Kaplan-Meier 曲線是階梯函數（不連續），因為觀察到的死亡事件是離散的。 --- ## Part II：微分 ### Chapter 4：導數的概念 #### 觀念題 **1. Hazard rate 與導數有何關係？** 解答：Hazard function 本質上是瞬時死亡率，定義為： $$h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t < T \leq t + \Delta t | T > t)}{\Delta t}$$ 這正是導數的定義！也可表示為： $$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = -\frac{d}{dt}\ln S(t)$$ #### 計算題 **1. 求 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $x=2$ 處的導數。** 解答： $$f'(x) = 3x^2 - 3$$ $$f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9$$ ```{r} f <- function(x) x^3 - 3*x f_prime <- function(x) 3*x^2 - 3 f_prime(2) ``` --- ### Chapter 5：微分規則 #### 計算題 **1. 求 $f(x) = e^{x^2}$ 的導數（使用連鎖律）。** 解答：令 $u = x^2$，則 $f(x) = e^u$ - 外層導數：$\frac{d}{du}e^u = e^u$ - 內層導數：$\frac{du}{dx} = 2x$ 根據連鎖律： $$f'(x) = e^{u} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$$ **2. 求 Logistic 函數 $p(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ 的導數。** 解答：使用除法規則或改寫為 $(1+e^{-x})^{-1}$ 使用連鎖律： $$p'(x) = -1 \cdot (1+e^{-x})^{-2} \cdot (-e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$ 化簡： $$p'(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} \cdot \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = p(x) \cdot (1-p(x))$$ 這個結果非常重要！Logistic 函數的導數就是 $p(1-p)$。 --- ### Chapter 6：指數與對數函數 #### 觀念題 **1. 為什麼統計學中常使用 log-likelihood 而不是 likelihood？** 解答：三個主要原因： 1. **數值穩定性**：Likelihood 通常是很多小機率的乘積，容易數值下溢（underflow）。取 log 後變成加法，數值更穩定。 2. **微分簡化**： - $L(\theta) = \prod f(x_i|\theta)$ 微分複雜（乘法規則） - $\ell(\theta) = \sum \ln f(x_i|\theta)$ 微分簡單（和的導數） 3. **最佳化等價**：因為 $\ln$ 是遞增函數，最大化 $L(\theta)$ 等價於最大化 $\ell(\theta)$。 #### 計算題 **1. 若 $y = \ln(x^2 + 1)$，求 $\frac{dy}{dx}$。** 解答：使用連鎖律： $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$$ --- ### Chapter 7：最佳化 #### 計算題 **1. 求 $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ 的最大值。** 解答： 1. 求導數：$f'(x) = -2x + 4$ 2. 令導數為零：$-2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ 3. 二階導數：$f''(x) = -2 < 0$（凹向下，確認是最大值） 4. 最大值：$f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$ ```{r} f <- function(x) -x^2 + 4*x - 1 optimize(f, interval = c(0, 10), maximum = TRUE) ``` **2. MLE 估計：給定樣本 3, 5, 7 來自常態分布 $N(\mu, 1)$，求 $\mu$ 的 MLE。** 解答： Log-likelihood： $$\ell(\mu) = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 (x_i - \mu)^2 + \text{常數}$$ 求導： $$\frac{d\ell}{d\mu} = \sum_{i=1}^3 (x_i - \mu) = 0$$ 解得： $$\hat{\mu} = \frac{1}{3}\sum x_i = \frac{3+5+7}{3} = 5$$ ```{r} data <- c(3, 5, 7) mean(data) # MLE = sample mean ``` --- ## Part III：積分 ### Chapter 8：積分的概念 #### 觀念題 **1. 為什麼標準常態分布在 $(-\infty, \infty)$ 的積分等於 1？** 解答：這是機率的基本性質：所有可能結果的機率總和必須為 1。 $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 1$$ 這個積分沒有初等函數形式的解析解，但可以用極座標變換證明確實等於 1。 #### 計算題 **1. 求標準常態分布在 $[0, 1]$ 的機率。** 解答： $$P(0 \leq X \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$ 這個積分需要用數值方法或查表： ```{r} pnorm(1) - pnorm(0) ``` 答案：約 0.341 --- ### Chapter 10：瑕積分 #### 計算題 **1. 驗證指數分布 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ ($x \geq 0$) 的總機率為 1。** 解答： $$\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}dx = \lambda \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^{\infty}$$ $$= \lambda \left(0 - (-\frac{1}{\lambda})\right) = 1 \quad \checkmark$$ --- ## Part IV：多變量微積分 ### Chapter 11：偏微分 #### 計算題 **1. 求 $f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2$ 的偏微分。** 解答：對 $x$ 的偏微分（視 $y$ 為常數）： $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$$ 對 $y$ 的偏微分（視 $x$ 為常數）： $$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y$$ --- ## Part V：統計應用 ### Chapter 14：最大概似估計 #### 綜合題 **1. Poisson 分布的 MLE** 給定觀測值 2, 3, 1, 4, 2，求 Poisson 參數 $\lambda$ 的 MLE。解答： Likelihood： $$L(\lambda) = \prod_{i=1}^5 \frac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{x_i!}$$ Log-likelihood： $$\ell(\lambda) = \sum x_i \ln \lambda - 5\lambda + \text{常數}$$ 求導： $$\frac{d\ell}{d\lambda} = \frac{\sum x_i}{\lambda} - 5 = 0$$ 解得： $$\hat{\lambda} = \frac{\sum x_i}{5} = \frac{2+3+1+4+2}{5} = 2.4$$ ```{r} data <- c(2, 3, 1, 4, 2) lambda_mle <- mean(data) lambda_mle ``` --- ### Chapter 16：存活分析 #### 計算題 **1. 指數存活模型的 hazard function** 若 $T \sim \text{Exp}(\lambda)$，即 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$，求 hazard function。解答： Survival function： $$S(t) = \int_t^{\infty} \lambda e^{-\lambda u}du = e^{-\lambda t}$$ Hazard function： $$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda$$ 結論：指數分布的 hazard 是常數（無記憶性）！ --- ::: {.callout-tip} ## 學習建議 1. 不要只看答案，要理解解題過程 2. 用 R 驗證計算結果 3. 遇到不懂的地方，回到對應章節複習概念 4. 嘗試用不同方法解同一題 ::: ::: {.callout-note} ## 持續更新本附錄會隨著書籍內容更新而持續補充更多練習題解答。 :::