Part III: 積分
在 Part II 我們學會了「微分」—— 計算函數在某一點的瞬時變化率。現在我們要學習微分的「反向操作」：積分 (Integration)。
積分的核心概念
如果說微分是「放大鏡」，讓我們看清楚函數在某一點的細節，那麼積分就是「望遠鏡」，讓我們看到函數在一段區間上的「整體行為」。
直觀理解：
- 微分：曲線在某點的斜率 → 局部、瞬時
- 積分：曲線下方的面積 → 整體、累積
為什麼醫學統計需要積分？
1. 機率的計算
在連續型隨機變數中，「某個區間的機率」就是機率密度函數 (PDF) 在該區間下的面積：
\[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx\]
這就是積分！
2. 期望值的定義
隨機變數的期望值（平均值）也是透過積分定義的：
\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)dx\]
3. 存活分析
存活函數 (Survival Function) 是風險函數 (Hazard Function) 的積分：
\[S(t) = \exp\left(-\int_0^t h(u)du\right)\]
4. 累積分布函數
CDF 是 PDF 的積分：
\[F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt\]
這個關係在統計推論中無處不在。
本篇架構
Chapter 8: 積分的概念
從「長方形近似」到「精確面積」，理解積分的本質。
Chapter 9: 積分技巧
學習基本積分公式與計算方法，為統計應用做準備。
Chapter 10: 瑕積分
處理「無窮大」的積分，這是理解機率分布的關鍵。
積分與微分的關係
微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)：
\[\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)dt\right) = f(x)\]
這告訴我們：
- 積分的導數 = 原函數
- 積分與微分是互逆操作
在統計上：
- PDF = CDF 的導數：\(f(x) = F'(x)\)
- CDF = PDF 的積分：\(F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt\)
學習目標
學完這個部分，你將能夠：
- ✅ 理解積分的幾何意義（曲線下面積）
- ✅ 用 R 視覺化 Riemann Sum 的逼近過程
- ✅ 計算機率密度函數下的面積 → 機率
- ✅ 理解 PDF 與 CDF 的積分關係
- ✅ 處理積分上下界為無窮大的情況
- ✅ 驗證機率分布的「總面積 = 1」性質
- ✅ 用積分計算期望值與變異數
讓我們開始探索積分的世界！